量子场论

Posted:   June 07, 2018

Status:   Archived

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约定

泛函求导用$\eth$表示

K-G方程

哈密顿量

要构建相对论量子力学, 哈密顿量$H$ 要满足

(由 $E^2={\vec{p}}^2c^2+m^2c^4$ 自然单位制$c=0$)

运动方程

利用

得到

带入定态薛定谔方程

得到

即为K-G方程

方程的解

一维..

二维..

三维..

根据以上傅里叶变换的结果得到

的傅里叶变换是4维的

由$\delta$函数的性质,

得到

带入傅里叶变换继续计算

注意到两个 $\delta$ 函数只有一个成立, 因此取$p^0\gt 0$的一个

之前解方程曾有要求

是对123维情况的类比, $p^0\gt 0$规定了一个正方向

这里也可以写成更简单的形式

因此可以将$\phi(x)$写成更简单的形式

令$a(\vec{p})=\frac{\operatorname{A}(E _ p,\vec{p})}{\sqrt{2E _ p }}$, $b(\vec{p})=\frac{\operatorname{B}(E _ p,\vec{p})}{\sqrt{2E _ p }}$(因为$E _ p$是$p$的函数), $\phi(x)$可以写为:

实数解

如果是实标量场, 有$\phi(x)=\phi^\dagger(x)$, 得到

得到

因此实标量场的解为

场的量子化

到此为止, 所有的分析都是基于量子力学的, 没有涉及场的概念

graph LR
A[薛定谔方程]
B[相对论哈密顿量]-->C[K-G方程]
A-->C
C-->|傅里叶变换|D[平面波形式解]

这一节的内容就是二次量子化, 引入场的概念

傅里叶变换

先将$a(\vec{p})$用逆傅里叶变换写出, 方便起见, 这里有一个常数

又有傅里叶变换

==这里是三重积分, 四重积分可以转化为三重, 如何证明 文献忘记是哪一个了==

对于共轭动量密度有

由对时间偏导可以交换到对动量的积分

同样可以得到类似关系

==待补充==

得到

又有

二次量子化

利用共轭动量密度和==???==的对易关系, 可以推导出$a$和$a^\dagger$ 的对易关系


这里$a$与$a^\dagger$原本都是平面波展开的系数, 也就是常数(无论是实数还是复数). 常数的对易应当为零.

但是在推导过程中发现他们的对易不是零. 说明它们是算符而不是. 对应地, 说明K-G方程的解$\phi(x)$不是一般意义上的一个波函数(函数值是一个复数), 而是一个算符.

这样把波函数”看作是“算符的过程, 叫做二次量子化.

二次量子化具体发生在那哪一步? 发生在认为K-G方程的解(应为波函数)对应场广义坐标密度(算符)的那一步. ==justification?==


对应的可以利用$a$和$a^\dagger$表示哈密顿量

哈密顿量$H$和对应地哈密顿量密度$\mathcal{H}$有

由经典场论的结果

分别计算三项

其余两项同理可得

因此得到哈密顿量

和谐振子的很像

零点能与Normal Ordering

一个重大问题在于, 这样的哈密顿量零点能是无穷大. 因为空间每一点都是一个谐振子, 每一个谐振子都有不为零的零点能, 导致场的零点能是无穷大.

但是这并不影响能量差的计算, 毕竟只有能量差才是物理可观测量.

消除零点能, 可以直接计算能量差, 如:

但对于更复杂的情形(如高次项, 类似晶体中的非谐效应导致不同p之间的耦合) 这样计算较为复杂.

采用Normal Ordering的方式计算更为简便. 即先令$\left[a(\vec p),a^\dagger(\vec p)\right] =0$, 把$a^\dagger(\vec p)$一律放在$a(\vec p)$前面, 再恢复二者对易关系, 往后计算. 这种计算方法在前面的例子中等价于直接舍去对易项. 因此把normal ordering 之后的哈密顿量写作

对称性分析

传播子

传播子与格林函数

计算在$y$处粒子传播到$x$处的概率幅$\left\langle y x\right\rangle$有:

得到的结论是有问题的, 即使$x$$y$是类空的, 得到的概率幅也不为零.

注意到

因此对于类空间隔, RHS 两项相消, 给出概率幅为$0$.

Feynman 传播子

Feynman传播子的定义为

利用编时算符, 得到的编时乘积就不再违反相对论.

可以利用$\Theta$函数将Feynman传播子写作

利用留数定理可以将这两项表示为一个积分, 即构造一个积分具有两个一阶极点, 在这两个一阶极点的积分值分别是上式中的$\frac{1}{2E _ p} e^{iE _ p(t _ x-t _ y)}$和$\frac{1}{2E _ p} e^{-iE _ p(t _ x-t _ y)}$.

逆着利用留数定理, 构造$f(p _ 0)$, 有两个一阶极点$\pm E _ p$,

因此$f(p _ 0)$在一阶极点的留数有

对$p _ 0$解析延拓到复平面, 根据$(t _ x-t _ y)$的符号, 选取积分路径$C _ \pm$, 得到

Feynman propagator

因此利用$\Theta(x-y)+\Theta(y-x)=\begin{cases} 1+0 & x\gt y \ \frac12+ \frac12 & x=y \ 0+1 & x\lt y \end{cases}\quad\equiv1$得到化简的形式,

利用式$(\ref{residualFeynman})$ 得到

为了表示方便, 引入如下记号

格林函数

带入K-G方程, 可以看出, Feynman传播子就是K-G方程的格林函数

Dirac方程

没有在K-G里面讲: 负能量粒子的问题E可正可负

狄拉克想要一个线性方程

方程的提出是一个随机的过程, 但之后人们发现这个方程描述的是自旋$\frac12$的粒子, 而不是狄拉克原先设想的那样. 接下来我们按照狄拉克的思路描写这个方程的产生.

==希望我有时间可以直接从:要描述spin=1/2粒子开始写方程 角度来写==

哈密顿量

可以看作是对哈密顿量的开方操作

$\gamma$矩阵的性质

$\gamma$矩阵的上下标的来源, 其实是因为他们是矢量. 把它们当作标量, 才导致旋量这一变换十分复杂的量. 详见[^gamma as vector]

下面推导按$\gamma$矩阵是常数矩阵.

运动方程

可以写为

方程的解

对于平面波$\psi(x)=u(\vec p)e^{-ipx}$, $\psi(x)=v(\vec p)e^{ipx}$ 分别为方程的正频解和负频解

注意狄拉克本来想要只有正能量的解, 可是这里仍然会有负能量的解.

场的量子化

Dirac场的拉格朗日量

Dirac场的量子化

狄拉克方程有两个解. 类似地可以写成

对称性分析

传播子

相互作用

graph LR
A[转移矩阵]-->|相互作用绘景|B[渐进形式]
B-->|逐级展开|C[wick定理]
C-->D[Feynman图]

相互作用的形式1

相互作用的哈密顿量的一般形式是

之前研究的都是自由粒子, 势场满足

这样的势场是有解析解的. 不同的动量(振动模式)之间没有耦合.

为了表示相互作用, 仿照固体物理中的做法, 引入高阶项(非谐效应), 会产生不同模式之间的耦合, 也就是粒子的相互作用.

引用1, “where the potential V is a polynomial in $\phi$, e.g. $V(\phi)=\phi^4$. This contains no picture of “how” the field interacts, just as the $\frac 12 m^2 \phi^2$ term contains no explanation of “how” this is the mass. “

因此势场可以表示成

高阶项[^first book]的系数量纲为质量的倒数, 会有问题, 目前不考虑.

得到描述相互作用的拉格朗日量

此时K-G方程的解

因此$\phi\ket{\Omega}$与$\phi\ket{0}$不同, 不再是产生一个新的粒子. 从这一角度也可以说明为何要用$\ket{\Omega}$ 标记基态.

相互作用哈密顿量

引入相互作用绘景

因此薛定谔方程

可以化简得到

引入含时演化算符$U(t,t _ 0)$

带入$\Eqn{simplifedSchrodingerEqn}$得到

有边界条件的微分方程式$\Eqn{diffEqnforU}$可以表达为

写出$\Eqn{intEqnforU}$的迭代形式, 初始值选取为$U(t _ 0,t _ 0)=\idmat$

注意到, 由定义, 不同时间的哈密顿量对易

因此定义

利用编时算符, 可以将式$\Eqn{UnonTorder}$进一步化简.

注意到对于$n=2$情形, $H(-t)=e^{iH _ 0t}He^{-iH _ 0t}=(e^{iH _ 0t}H^\dagger e^{-iH _ 0t})^\dagger=e^{-iH _ 0t}He^{iH _ 0t}=H(t)$

利用编时算符:

可以将上式写成

Time ordering operator

因此可以得到

类似地, 对于$n=3$, 因子为$6=3!$. 因此

利用$\Eqn{TorderProdH}$可以将$\Eqn{UnonTorder}$进一步化简为

S矩阵

注意$\Eqn{defU}$中,

如果取$t _ 0\rightarrow -\infty$, $t\rightarrow \infty$, 则有

注意到上式两边分别是初始和结束的波函数, 分别定义为$\ket{i}$, $\ket{f}$, 再定义S(scattering)矩阵:

将哈密顿量写成哈密顿量密度, 将S矩阵写成

Wick 定理

$S$矩阵含有编时乘积, 但哈密顿量密度是Normal Order的. 将编时乘积转换为Normal Ordering的过程由Wick 定理给出.

要计算$\bra{i}S\ket{f}$, 就要计算$\bra{0}H\ket{0}$, 即要计算类似$\bra{0}\Torder{\phi(x) \phi(y)}\ket{0}$的式子.

举例计算

先考虑两个标量场的乘积:

把$\phi(x)$和$\phi(y)$表示成湮灭算符和产生算符的部分.

得到

Normal Order之后得到

因此得到Normal Order和Time Order之间的关系, 利用$\Theta(t _ x-t _ y)+\Theta(t _ y-t _ x)=0$:

利用Feynman传播子:

而Time Order的乘积$\Norder{\phi(x)\phi(y)}$始终有湮灭算符在后,

得到

利用contraction写为

对于三个相乘的, 自然有

一般的Wick 定理

证明:

自由真空与相互作用真空

之前计算的都是自由真空$\ket{0}$的期望值, 但是真正代表散射概率的$\bra{i}S\ket{f}$应该是相互作用真空$\ket{\Omega}$的期望值.

二者的区别在于分别是总哈密顿量$H=H _ 0+H _ {int}$中自由粒子哈密顿量$H _ 0$的不同本征矢量.

利用总哈密顿量$H=H _ 0+H _ {int}$的本征矢$\ket{n}$展开为完备基, 自由真空的含时演化有(相互作用绘景下,$H _ 0$部分是薛定谔绘景)

在$\Eqn{oandOmega}$中, 第一项的因子的指数是相互作用真空能量$E _ \Omega$, 是所有本征值中最小的. 因此取$T\rightarrow \infty(1-i\varepsilon)$

==为什么要这样取极限, 直接$\infty$不行吗, 这样是精确的还是近似?==

得到

这里要求$\braket{\Omega}{0}\neq 0$, 即低阶近似下的真空与自由真空”相似”.

==…==

得到2

可见在此处解释了T的路径问题(Eqn 2.107 & 2.110) 2.

Feynman图

相互作用的传播子

目的是计算

对相互作用的假设如下:

  • 相互作用发生在$t=0$时刻
  • 相互作用的粒子来自于$t=-\infty$ , 此时的粒子处于自由状态
  • 相互作用产生的粒子到$t=\infty$时的粒子也处于自由状态

参考文献

  1. About the notion of the self-interaction of a field, ACuriousMind (https://physics.stackexchange.com/users/50583/acuriousmind),Physics Stack Exchange, URL:https://physics.stackexchange.com/q/277861 version: 2016-09-02,https://physics.stackexchange.com/q/277861  2

  2. skriptQFT1  2

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