李群和李群的李代数

Posted:   June 06, 2018

Status:   Archived

Categories :   Topology Lie-group

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基本概念

集合

域(field)

线性向量空间

这里双线性性就是”线性向量空间”中线性的定义.

例子

所有$N\times M$矩阵在矩阵加法下构成线性向量空间.

定义在圆上$(0 \le \varphi \le 2 \pi)$的所有函数构成线性向量空间.

代数

以上定义的矢量积,还可以加上不同的性质,以构成不同的代数,其中如果矢量积$\vec{A}\square\vec{B}$还满足

那么这样的代数称为Lie代数,这时常常把矢量积$\vec{A}\square \vec{B}$写作$[\vec{A},\vec{B}]$

补充: 标量函数的变换算符

对于标量函数, 对宗量(自变量)$x\in \mathbb{C}^n, \quad n\in \mathbb{N}$的变换, 总可以表示成对标量函数的变换, 即

上面大写的希腊字母表示函数值, $\psi(x)=\Psi, \quad \psi(y)=\Phi$ , $P _ R$ 是对标量 $\Phi$ (一个数)的变换.

注意 而 $\Psi \in \mathbb{C}$ 是一个标量, 因此就若采用矩阵表示, $R$是一个$n\times n$矩阵, 作用于$x\in \mathbb{C}^n$, 而$P _ R$是一个算符, 作用于$\psi(x)= \Psi \in \mathbb{C}$

又因为一般有$\Phi=P _ R\Psi=P _ R\psi(x)\neq \psi(\chi)$, 因而将$\Phi$记为$\Phi=\phi(\chi)$

将上述关系整理为

因此$P _ R$的作用是将函数$\phi$变换为一个新的函数$\psi$.

将上式改写之后可以得到

因此也可以说$P _ R$的作用是”抵消” $R$的作用

标量函数变换算符与群元素一一对应

拓扑空间的相关概念,拓扑群

拓扑空间

一个集合$X$以及它的子集的集合(称为子集族(a family of sets)) $\mathcal{T}$ 构成的对$(X,\mathcal{T})$称为拓扑空间,要求

拓扑空间通过定义开集, 定义了集合的”划分方法”. 开集指定了$X$中的一个点(元素)与哪些点是在一个集合(邻域)中的, 也就通过连通性得到了拓扑

Hausdorff空间

若对任意两点$x,x’$, 都可以找到的$x,\,x’$的邻域$U _ x,\, U _ {x’}$,使得$x\in U _ x,\, x’ \in U _ {x’}, \, U _ x \bigcap U _ {x’} =\emptyset$, 就称此空间是Hausdorff空间.

直观的理解是, 这样的空间中任意两个点都是可以区分的.

注意并不能理解成这样的空间中,点无限致密. 因为在两个邻域”之间”, 并不一定存在点. 举例来说,离散的点集中, 离散拓扑定义的拓扑空间就是Hausdorff空间.

度规(metric)

度规是一个二元函数$d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$, 将两个$X$中的元素映射到实数中, 也就是定义了$X$中任意两点的距离. 要使$d$是一个度规, 还要求$d$满足:

配备了度规的拓扑空间(Topological space endowed with a metric)天然有一个度规拓扑$(X , \mathcal{T})$, 其中$\mathcal{T}$中的子集为”开球”, 这样的空间$(X , \mathcal{T})$称为度规空间.

流形

流形的德文为mannigfaltigkeit,英文翻译为manifold, 词义为”多态,多重”,中文最初翻译为”多样体”,现行翻译来自于文天祥《正气歌》”天地有正气, 杂然赋流形.”而原始出处则为《易经》: “大哉乾元, 万物资始, 乃统天. 云行雨施, 品物流形.”

流形是对曲线,曲面的概念推广. 另一个说法是: 流形是局部看起来像$\mathbb{R}^n$,但是有更复杂的拓扑结构(定义在拓扑空间上)的数学结构.

graph LR
A[1维曲线]--> B[2维曲面]
 B --> C[n维流形]

这里要注意的是, 曲线可以存在于高维的空间,但是曲线永远是$1$维的, 只用一个参数就可以描写.

流形的坐标

为了研究方便,我们可以将$n$维流形映射到$\mathbb{R}^n$

若$\mathcal{M}$是一个拓扑空间, ${U _ i}$是$\mathcal{M}$的一个开覆盖(即$\bigcup U _ i=\mathcal{M}$), $\varphi _ i $是从$U _ i$到$\mathbb{R}^m$的映射, 满足对于任意$U _ i \bigcup U _ j \neq \emptyset$的$U _ i$和$U _ j$, $\varphi _ i \circ \varphi _ j^{-1}$(这个映射即为$\varphi _ i \circ \varphi _ j^{-1}(x)=\varphi _ i \left(\varphi _ j^{-1}(x)\right)$) 是无穷可微的(光滑). 这样的拓扑空间就称为流形.

简单地说, 给一个拓扑空间配备一个性质足够好(可微分)的坐标映射, 就得到微分流形

流形

(未完)

李群

李群定义

李群$G$的定义:

这样的群称为李群.

局部李群(李群的子群)

定理: 若$G$是连通拓扑群, $e$的一个开邻域关于$G$的群乘为局部李群,则可在$G$中引入一个唯一的拓扑结构使$G$全体成为李群, 且其诱导拓扑与原拓扑一致.

李群的李代数

李群的切空间

见[^李群短文1][^李群短文2][^李群短文3] . 由李群可以由任意一个在单位元$e$附近的邻域生成, 自然会想问, 这样的邻域最小可以有多小? 可以是无穷小的切空间吗?

李群的单参数子群

为了先有一个直观的理解, 先从李群的单参数子群入手. 李群的单参数子群可以理解为李群$G$所在流形$\mathcal{M}$上的一条单参数曲线.

李群的来源是数学家Lie 在研究形如

的微分方程时引入的. 一组初始条件,就对应了一个解,即李群的一个单参数子群

李群的切丛性质

李群的左平移

李群的左平移$L _ g$是一个李群到自身的映射:

诱导出一个切空间的微分映射$dL _ g$. 如图所示.

切空间

由此可以得到

graph LR
  A(取Te基矢) -->|确定| B(e的切空间Te)
    A -->|dLg|C(g的切空间Tg的基矢)
    C -->|确定|D(g的切空间Tg)

指数映射

回顾李群的概念,李群是定义在流形上的,李群的元素之间有李群群乘. 如果我们要研究切空间, 我们自然要问,切空间里面的元素是什么, 有什么运算.

直观的感受告诉我们,一个球可以看做李群, 在某一点$p$的切空间就是在$p$点的切平面. 这个平面上面的元素就是过$p$点的所有切向量(任意大小,方向). 因此这个空间是一个线性矢量空间. 除此之外,我们还可以在这个空间上定义更复杂的”代数”, 表示矢量积.

但是对于李群我们不能这样做. 李群的切空间的元素之间的运算关系必须由李群群乘来确定. 这样对群乘”微分”,得到的运算就会是李群切空间的运算. 因此,只要确定了切空间内元素与李群中元素的对应关系, 就可以确定切空间内元素的运算了.

这样的映射之一,就是指数映射. 为了不与单位元 $ e $ 混淆, 指数映射一律记为$ \exp(x) $, 而不是$ e^x $

由$ \vec{v} _ {1} \rightarrow g _ {\vec{v} _ 1}(t)$是一一映射, 可以定义$ \exp(\vec{v} _ 1)=g _ { \vec{v} _ 1} (1) $为指数映射.

指数映射的性质和定义在实数上的指数映射基本一致:

自此我们建立了李群中部分元素和李群单位元切空间$T _ e$的一一对应.

李群切空间到李群的邻域

有了映射,我们得到如下定理:

$e$处切空间$T _ e$中存在切空间单位元$\vec{e}$的邻域$TU _ \vec{e}$, 使得$T U _ {\vec{e}}$通过指数映射,与$e$的邻域微分同构.

指数映射的Taylor展开

第一类坐标系

为了更好地研究指数映射, 在李群(流形)上引入第一类坐标系

这个坐标系的含义是, 通过切空间的基矢量 $\vec{E} _ i$, 展开切空间单位元邻域 $ N _ { \vec{e} } $得到$N _ \vec{e}$ 中的坐标$x _ i$ , 然后将切空间的任意一个向量$\vec{v}= \sum _ {i=1}^{n}{x _ i \vec{E} _ i}$通过指数映射$\exp{\vec{v}}$得到李群单位元素邻域的元素$\exp{\sum _ {i=1}^{n}{x _ i \vec{E} _ i}}$.

建立Taylor公式

定理: 存在$\mathfrak{g}$的原点邻域$N _ \vec{e}$.满足若$\vec{x} \in N _ \vec{e}$, 则 $0\le t \le 1 $都有$t \vec{x} \in N _ \vec{e}$, 且对$G$上解析的函数$f$有:

取$g=e,f(x)=x$可以看出上式就是指数函数的展开

注意到这里第一次出现了切空间的运算$\vec{x}^n$

定理的证明如下(待完善)

切空间运算,李代数

见[^海森堡量子力学]. 切空间运算是依赖于映射的. 之前通过指数映射我们得到了切空间的运算规律.

应用指数运算和群的封闭性:

若上式 $(\ref{expProduct})$ 中 $\vec{x}$ , $ \vec{y} $ 对易, 则:

若上式 $(\ref{expProduct})$ 中 $\vec{x}$ , $ \vec{y} $ 不对易, 则

为了将$\vec{z}$表示成$\vec{x}+\vec{y}$的形式, 我们计算由于不对易性导致式 $(\ref{expProduct})$ 的差:

如果$\left[\vec{x},\vec{y}\right]$是一个复数(c-number), 利用BCH公式[^BCH公式], 得到二者之差为:

因此可以说,李代数是李群结构非对易性的线性化(即”低阶近似”), (是反应不对易性的第一项)

李群的无穷小性质

graph LR
  subgraph 结构关系
  A(单位元附近邻域) -->|生成| B(李群)
    C(单位元的切空间) ---|"指数映射(微分同构)"| A
    C -.->|因此生成| B
    end
  subgraph 运算关系
  X[群乘] --> |指数映射|Y1["切空间矢量和+:exp(A)exp(B)=exp(A+B)"]
    X -->|利用指数映射于坐标,泰勒展开从群元素得到切矢量积|Y2["切空间矢量积AB,BA"]
    Y2-->|构造|Z[李代数]
    Z-->|指数映射泰勒展开,是度量群乘不对易性的最低阶项|X
    end

李群的”无穷小元素”实际上不在李群中. 他们指的实际上是单位元$e$所在切空间$T _ e$的切向量. 但是可以将切向量映射到在单位元附近的李群元素. 他们的积表现为矢量和.对应逆表现为矢量反向.

很显然的是, $\left(1+\delta\right)+\left(1+\varepsilon\right) \neq 1 +\left(\delta + \varepsilon\right)$ . 用$\Delta $, $E$表示他们对应的切矢量,即$\Delta = \exp{\delta}$, $E = \exp{\varepsilon}$

因此式$(\ref{productLikeVectorSum})$才是”元素积表现(在一阶近似下)为(对应切矢量的)矢量和”的真正含义.

李群的生成元

graph LR

X---A
Y---B
Z---C

  subgraph 元素关系
  A(切空间基矢) -->|张成| B(切空间)
    B ---|指数映射| C(单位元邻域)
    C -->|生成| D(李群)
    end
    
  subgraph 算符关系
  X[结构常数] --- Y["李代数[ , ]"]
    Y ---|指数映射| Z[群乘]
    end

由以上关系, 只要用切空间的基矢以及结构常数就可以生成整个李群. 切空间的一组基矢就是李代数的生成元

举例

三维转动群

见[^三维转动群]

三维转动群的群元素与切向量

三维转动群的变换矩阵构成一个李群.其中选取绕$z$轴旋转$\omega$角度的矩阵, 构成一个单参数李群:

单位元为

单位元的切空间内切向量为

同样可以得到其余两个轴的转动关系,总结得到:

以上就是三维转动李群生成元的$3 \times3$矩阵表示. 注意到

三维转动群的指数映射

因此有切矢量的指数映射, 泰勒展开后得到群元素(式$(\ref{exponetialExpension})$的类比):

三维转动群的”无穷小元素”的作用: 计算生成元

因此按照之前的说法, 三维转动李群的切空间元素就是三个矩阵(实际上是Pauli矩阵的变形).

无穷小元素按照之前定义, 具有下述性质

而与切空间向量对应的群元素有

可以看出,在最低阶近似下, 切空间向量指数映射满足”无穷小元素”的运算规则:

可以说, ==无穷小元素只是一个计算的手段, 可以方便地得到标量算符生成元应当满足的关系.==

无穷小元素计算举例

例如对转动群

三维转动群的”生成元”

下面研究这个李群的无穷小生成元.

物理中的对称性生成元

平移对称性的生成元

参考文献

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